SMA pilpay
Mapel untuk SMA
Saturday, December 22, 2018
Penggunaan Telescoping Dalam Matematika
sekolah pertama aku mengajar , yang memperkenalkan telescoping pada waktu itu yaitu bapak Benny Yong.
Pemakaian telescoping ini sendiri banyak digunakan pada soal-soal matematika untuk tingkat kompetisi atau olimpiade matematika. Untuk Indonesia sudah mencoba memperkenalkan telescoping kepada semua pelajar di Indonesia pada buku matematika kurikulum 2013.
Telescoping ini hanyalah sebuah teknik dalam mengerjakan soal, alasannya yaitu kalau kita cari arti kata telescoping dengan menggunakan kamus bahasa Inggris-Indonesia arti telescoping itu yaitu
"teleskop, teropong. -kkt. saling menerobos. -kki. memaksa bab yang satu masuk ke bab yang lain"
.
Beberapa buku Bahasa Indonesia yang menggunakan teknik telescoping dalam mengerjakan soal juga tidak menjelaskan defenisi telescoping setrik jelas, setrik umum buku-buku memberikan "teknik mengerjakan soal dengan menggunakan telescoping". Ada juga beberapa buku yang menuliskan 'telescoping' menjadi 'teleskopik'
Bagaimana teknik mengerjakan soal dengan menggunakan telescoping akan kita coba diskusikan. Sebelum kita mulai, coba kita simak soal-soal yang sanggup dikerjakan dengan menggunakan teknik telescoping;
$ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+ \cdots +\frac{1}{2015\times 2016}= \cdots$
$ \frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+ \cdots +\frac{1}{2012\times 2016}= \cdots$
$ \frac{1}{1\times 3\times 5}+\frac{1}{3\times 5\times 7}+\frac{1}{5\times 7\times 9}+ \cdots +\frac{1}{2013\times 2015\times 2017}= \cdots $
Beberapa waktu kemudian Bapak Benny Yong mengenalkan telescoping dengan trik ibarat pada gambar diatas, disini aku coba tuliskan kembali;
Dimisalkan:
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1} $
Diperoleh
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}= \frac{A\left ( n+1 \right )}{n\left ( n+1 \right )}+\frac{B\left ( n \right )}{n\left (n+1 \right )}$
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}= \frac{A\left ( n+1 \right )+ B \left ( n \right )}{n\left ( n+1 \right )}$
$ 1=A\left ( n+1 \right )+ B \left ( n \right )$
$ 1=n\left ( A+B \right )+ A$
Untuk $ \left ( A+B \right )=0$
diperoleh $ A=1$ dan $B=-1$
Bentuk final diperoleh:
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
Sebagai pelengkap dari buku
Bapak Sabar Sitanggang
sanggup diperluas menjadi:
$ \frac{1}{n\left ( n+p \right )}=\frac{1}{p}\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p} \right ) $ dan
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}-\frac{1}{\left (n+1 \right )\left ( n+2 \right )} \right )$
Kita coba menuntaskan soal yang disebutkan diawal tadi;
(1). $ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+ \cdots +\frac{1}{2015\times 2016} $
$ = \left ( 1-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+\left (\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right )+ \cdots +\left ( \frac{1}{2014}-\frac{1}{2015} \right )+\left ( \frac{1}{2015}-\frac{1}{2016} \right )$
$ =1-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} +\cdots+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015} +\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016} $
$ =1-\frac{1}{2016}$
$ =\frac{2015}{2016}$
(2). $ \frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+\cdots+\frac{1}{2012\times 2016} $
$ = \frac{1}{4}\left ( 1-\frac{1}{5} \right )+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{9} \right )+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{9}-\frac{1}{13} \right )+\cdots+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} \right )+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right )$
$ = \frac{1}{4}\left (\left ( 1-\frac{1}{5} \right )+\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{9} \right )+\left ( \frac{1}{9}-\frac{1}{13} \right )+ \cdots+\left ( \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} \right )+\left ( \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right ) \right ) $
$ = \frac{1}{4}\left (1-\frac{1}{5} + \frac{1}{5}-\frac{1}{9} +\frac{1}{9}-\frac{1}{13} +\cdots+ \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} + \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right ) $
$ = \frac{1}{4}\left (1-\frac{1}{2016} \right ) $
$ = \frac{1}{4}\left (\frac{2015}{2016} \right ) $
$ = \frac{2015}{8064} $
Untuk soal no.3 coba disisakan untuk pembaca sebagai latihan, kalau ada yang mau ditanyakan silahkan berpendapat, agar bermanfaat.
Mari kita coba berguru geogebra dasar, menggambar grafik fungsi kuadrat;
No comments:
Post a Comment
‹
›
Home
View web version
No comments:
Post a Comment