Mengenal Identitas Trigonometri Dasar

Perbandingan Trigonometri memiliki kesamaan dengan kita, salah satunya ialah memiliki identitas. Perbandingan trigonometri untuk berikutnya hanya kita sebut dengan trigonometri sehingga identitas perbandingan trigonometri kita sebut dengan "Identitas Trigonometri".

Identitas trigonometri bentuknya sangat banyak, dari bentuk yang sederhana hingga yang sangat indah. Bentuk-bentuk identitas trigonometri itu berasal dari sumber yang sama, hanya saja banyak orang-orang kreatif sehingga bentuk identitas trigonometri terlihat lebih indah dari bentuk sebelumnya.

Mari kita coba diskusikan bentuk identitas trigonometri dasar,
Dari sebuah segitiga ABC siku-siku di C, kita misalkan panjang sisi BC=a, AC=b, dan AB=c. Untuk sudutnya kita pakai sudut ABC kita misalkan besarnya sebesar $ \beta $.

Deskripsi diatas dalam gambar sanggup kita ilustrasikan sebagai berikut;

Dari segitiga diatas menurut defenisi perbandingan trigonometri kita peroleh;

1. $ sin\ \beta= \frac{b}{c} $
2. $ cos\ \beta= \frac{a}{c} $
3. $ tan\ \beta= \frac{b}{a} $
4. $ cosec\ \beta= \frac{c}{b} $
5. $ sec\ \beta= \frac{c}{a} $
6. $ cotan\ \beta= \frac{a}{b} $

Dari keenam bentuk dasar trigonometri diatas sudah ada beberapa bentuk identitas yang sanggup kita peroleh, antara lain;

• $ \frac{1}{sin\ \beta}={\frac{1}{\frac{b}{c}}=\frac{c}{b}}=cosec\ \beta$ atau $ \frac{1}{sin\ \beta}=cosec\ \beta $
• $ \frac{1}{cos\ \beta}={\frac{1}{\frac{a}{c}}=\frac{c}{a}}=sec\ \beta$ atau $ \frac{1}{cos\ \beta}=sec\ \beta $
• $ \frac{1}{tan\ \beta}={\frac{1}{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}}=cotan\ \beta$ atau $ \frac{1}{cotan\ \beta}=tan\ \beta $
• $ \frac{sin\ \beta}{cos\ \beta}={\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{a}}=tan\ \beta$ atau $ \frac{cos\ \beta}{sin\ \beta}=cotan\ \beta$

Setelah paham identitas trigoneometri diatas, kini kita coba kembali ke segitiga siku-siku ABC yang diawal tadi. Pada segitiga itu sanggup kita terapkan teorema phytagoras yaitu;
$ BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$
$ a^{2}+b^{2}=c^{2}$
Jika kedua ruas persamaan diatas sama-sama kita bagikan dengan $ c^{2}$ maka akan kita peroleh persamaan:
$ \frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}}$
$ \left (\frac{a}{c} \right )^{2}+\left (\frac{b}{c} \right )^{2}=1$
$ \left (cos\ \beta \right )^{2}+\left (sin\ \beta \right )^{2}=1$
$ cos^{2} \beta+sin^{2} \beta=1$

Kesimpulan:

• $ sin^{2} \beta+cos^{2} \beta=1$
• $ sin^{2} \beta=1-cos^{2} \beta $
• $ cos^{2} \beta=1-sin^{2} \beta $

Bentuk diatas sanggup digunakan kebentuk yang lain, misalnya:

• $ sin^{2} A+cos^{2} A=1 $
• $ sin^{2} 355^{\circ}+cos^{2} 355^{\circ}=1 $
• $ sin^{2} p+cos^{2} p=1 $

Untuk identitas trigonometri berikutnya kita kembali ke persamaan $ a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Jika diawal kedua ruas persamaan kita bagi dengan $ c^{2}$ maka kini coba kita bagi dengan $ a^{2}$.
$ \frac{a^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{2}}$
$ 1+\left (\frac{b}{a} \right )^{2}=\left (\frac{c}{a} \right )^{2}$
$ 1+\left (tan\ \beta \right )^{2}=\left (sec\ \beta \right )^{2}$
$ 1+tan^{2} \beta=sec^{2} \beta$

Kesimpulan:

• $ 1+tan^{2} \beta=sec^{2} \beta$
• $ tan^{2} \beta=sec^{2} \beta-1$
• $ 1=sec^{2} \beta-tan^{2} \beta$

Berikutnya identitas trigonometri akan kita sanggup jikalau persamaan $ a^{2}+b^{2}=c^{2}$ kita bagi dengan $ b^{2}$, persamaan yang kita peroleh adalah;
$ \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}}=\frac{c^{2}}{b^{2}}$
$ \left (\frac{a}{b} \right )^{2}+1=\left (\frac{c}{b} \right )^{2}$
$ \left (cotan\ \beta \right )^{2}+1=\left (cosec\ \beta \right )^{2}$
$ cotan^{2} \beta+1=cosec^{2} \beta$

Kesimpulan:

• $ cotan^{2} \beta+1=cosec^{2} \beta$
• $ 1=cosec^{2} \beta-cotan^{2} \beta $
• $ cotan^{2} \beta=cosec^{2} \beta-1$

Bentuk identitas trigonometri dasar diataslah yang dimodifikasi sehingga soal identitas trigonometri itu menjadi masalah. Berikut satu soal latihan yang menggunakan identitas trigonometri dasar, yang diambil dari soal Ujian Masuk Universitas Gajah Mada pada tahun 2009.

Sebelum melihat alternatif penyelesaian dibawah ini, coba Anda selesaikan sendiri terlebih dahulu;

Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari soal ada beberapa data yang sanggup kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ sin^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $ tan\ A=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{sin\ A}{p-q}$
diperoleh persamaan $ cos\ A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $ cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$ \left (p-q \right )^{2}=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}-2pq=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+2pqA$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+sin^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=1$

Jawaban yang diinginkan pada soal ialah 1 (E)

Anda punya alternatif penyelesaian yang lain atau sesuatu hal ingin ditanyakan, mari mengembangkan dan diskusi.

Punya anak atau saudara yang duduk di kursi SD atau SMP, coba berikan permainan tangram siapa tahu ia suka. Hasil kreativitas anak dari permainan tangram sanggup diliha pada video berikut;