Perbandingan Luas Bulat Dan Luas Persegi

Sebuah bulat melalui dua titik sudut persegi dan menyinggung salah satu sisi persegi (ilustrasi perhatikan gambar).

Tentukan nilai perbandingan antara luas bulat dan luas persegi.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk membantu kita menuntaskan duduk perkara diatas mungkin kita perlu memberi nama titik untuk titik-titik yang diharapkan contohnya titik sudut persegi dengan $ ABCD $, titik singgung bulat dan persegi dengan $ E $, dan titik sentra bulat dengan $ F $.

Selain pemberian nama titik, kita juga mungkin perlu pemisalan dari panjang jari-jari bulat kita misalkan dengan $ r $, dan panjang sisi persegi dengan $ x $.

Dengan derma nama-nama dari titik dan panjang sisi persegi begitu juga dengan panjang jari-jari lingkaran, gambar sanggup kita sajikan dengan gambaran sebagai berikut;

Dengan memperhatikan gambar diatas sanggup kita peroleh bahwa panjang $ BF=AF=r $ sehingga segitiga $ ABF $ ialah segitiga samakaki.

Karena segitiga $ ABF $ ialah segitiga samakaki maka bila kita tarik garis tinggi dari $ F $ ke $ G $ pada $ AB $ maka panjang $ BG=AG=\frac{1}{2}x $. Perpanjangan garis $ FG $ memotong bulat di sebuah titik kita sebut dengan titik $ H $.

Dengan menggunakan data dari gambar diatas kita sanggup memperoleh panjang $ FG $.
$ FG+GH=FH$
$ GH=FH-FG$
$ GH=r-FG$ (*)
berikutnya;
$ EG+GH=EH$
$ GH=EH-EG$
$ GH=2r-x$ (**)
Kita substitusi (*) dan (**) kita peroleh;
$ r-FG=2r-x$
$ FG=x-r$

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga $ BGF$ yaitu:
$ BG^{2}+FG^{2}=BF^{2} $
$ \left (\frac{1}{2}x \right )^{2}+\left (x-r \right )^{2}=r^{2} $
$ \frac{1}{4}x ^{2}+x^{2}-2xr+r^{2}=r^{2} $
$ \frac{5}{4}x ^{2}-2xr=0 $
$ \frac{5}{4}x-2r=0 $
$ x=\frac{8}{5}r $

Berikutnya data yang kita punya ialah Luas Lingkaran $ \left ( \pi r^{2} \right )$ dan Luas Persegi $ \left ( x^{2} \right )$.

Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi;
$ = \pi r^{2}:x^{2}$
$ = \pi r^{2}:\left (\frac{8}{5}r \right )^{2}$
$ = \pi r^{2}:\frac{64}{25}r^{2}$
$ = 25 \pi :64$

Jika ada kesalahan atau alternatif penyelesaian yang lain harap diberi masukan melalui kotak komentar.

Terima Kasih juga kepada Bapak Sabar Sitanggang untuk ilham penyelesaiannya melalui buku: Matematika? Bismillah! (Meretas Jalan Menuju Olimpiade Matematika Nasional & Internasional).

Sering lihat video keren di facebook tapi kesulitan untuk mendowloadnya, coba ikuti langkah-langkahnya pada video berikut mungkin membantu;