Pak saya ada pertanyaan, yaitu satu kalimat yang paling dinantikan oleh setiap guru kalau masuk kelas pada umumnya. Jika ada guru yang tidak suka pada kalimat itu berarti ada yang salah pada guru tersebut atau guru tersebut sudah bisa diberikan cuti untuk 'merefresh' semangat keguruannya.Kemarin beberapa menit sebelum jam pembelajaran selesai dan akan segera istirahat, salah satu generasi penerus bangsa yang ganteng di kelas saya namanya Bernat Yusuf Sihite mengangkat tangannya dan menyodorkan buku grafindo miliknya. Pak bagaimana menuntaskan soal ini tanyanya sambil menawarkan soal nomor 29. Karena soal yang tidak mengecewakan panjang, Bernat menuliskannya di papan tulis, ibarat tertulis sebagai berikut;
Skor-skor dalam suatu ujian diolah dengan menggunakan rumus $y=px+q$ dimana $p$ dan $q$ yaitu konstanta dan $x$ dan $y$ masing-masing yaitu skor mentah dan skor hasil. Jika mean dan simpangan baku skor mentah masing-masing yaitu $42$ dan $10$; dan mean dan simpangan baku skor hasil masing-masing yaitu $50$ dan $15$ maka nilai $ 2p-q $ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 16 \\
(B).\ & 15 \\
(C).\ & 14 \\
(D).\ & 13 \\
(E).\ & 12
\end{align}$
Hint
Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa $ x $ yaitu skor mentah dimana mean-nya yaitu $42$, sehingga kita peroleh persamaan:
$ \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}=42 $
$ x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=42n $
Begitu juga dengan $ y $ yaitu skor hasil dimana mean-nya yaitu $50$, sehingga kita peroleh persamaan:
$ \dfrac{y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}}{n}=50 $
$ y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}=50n $
$ px_{1}+q+px_{2}+q+\cdots +px_{n}+q=50n $
$ p\left ( x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \right )+nq=50n $
$ 42n\cdot p+nq=50n $
$ 42p+q=50 $
$ q=50-42p $
Pada soal juga disampaikan bahwa simpangan baku $ x $ dan $ y $ berturut-turut yaitu $10$ dan $15$, sehingga kita dapatkan persamaan sebagai berikut:
$ s^{2}=\dfrac{1}{n} \sum_{i}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x}\right )^{2} $
$ 10^{2}=\dfrac{1}{n} \sum_{i}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x}\right )^{2} $
$ 100n=\left ( x_{1}-42 \right )^{2}+\left ( x_{2}-42 \right )^{2}+\cdots +\left ( x_{n}-42 \right )^{2} $
$ 100n=x_{1}^{2}-84x_{1}+42^{2}+x_{2}^{2}-84x_{2}+42^{2}+\cdots+x_{n}^{2}-84x_{n}+42^{2} $
$ 100n=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}-84(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})+n\cdot 42^{2} $
$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=100n+84(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})-n\cdot 42^{2} $
$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=100n+84(42n)-n\cdot 42^{2} $
Dengan melaksanakan proses aljabar yang sama untuk skor hasil yaitu $ y $ kita memperoleh persamaan sebagai berikut:
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}=225n+100(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n})-n\cdot 50^{2} $
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
Nilai $ y_{1}=px_{1}+q $ sehingga $ y_{1}^{2}=\left (px_{1} +q \right )^{2}=p^{2}x_{1}^{2}+2pqx_{1}+q^{2} $ hingga dengan $ y_{n}^{2}=\left (px_{n} +q \right )^{2}=p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2} $
Dengan mensubstitusikan nilai $ y_{n}^{2}=p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2} $, kini kita peroleh persamaan dengan bentuk sebagai berikut:
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} x_{1}^{2}+2pqx_{1}+q^{2}+\cdots +p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \right )+2pq\left (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right ) +nq^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (100n+84(42n)-n\cdot 42^{2}\right )+2pq\left (42n\right ) +nq^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (100+84(42)-42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+100(50)-50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+2\cdot42\cdot42-42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+2\cdot50\cdot50-50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+42^{2}\right )+2p\left (50-42p \right )\left (42\right ) +\left (50-42p \right )^{2}$
$=225+50^{2} $
$ 100p^{2}+p^{2}42^{2}+4200p-2\cdot42^{2}p^{2}+50^{2}-2\cdot 50\cdot 42p+42^{2}p^{2}$
$=225+50^{2} $
$ 100p^{2}=2725-2500 $
$ p^{2}=\dfrac{225}{100} $
$ p^{2}=2,25 $
$ p=1,5 $
$ q=50-42p $
$ q=50-42\left (1,5 \right ) $
$ q=50-63 $
$ q=-13 $
...
$\therefore\ 2p-q=16 \, \, \, (A) $
Soal statistika yang kita diskusikan diatas yaitu model-model soal yang sering diujikan pada Ujian Nasional atau ujian masuk perguruan tinggi tinggi negeri yang ketika ini istilahnya yaitu SBMPTN.
Untuk menambah perbendaharaan kita perihal soal-soal statistika yang sudah pernah ditanyakan pada Ujian Nasional atau Ujian Masuk PTN, mari kita diskusikan beberapa soal berikut;
1. Soal SIMAK UI 2011 [Soal SIMAK UI Lengkap]
Jika rata-rata $20$ bilangan lingkaran nonnegative berbeda yaitu $20$, maka bilangan terbesar yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 210 \\
(B).\ & 229 \\
(C).\ & 230 \\
(D).\ & 239 \\
(E).\ & 240
\end{align}$
Hint
Jika $20$ bilangan lingkaran nonnegative kita misalkan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots,\ x_{20}$, maka
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}=\bar{x}$
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20}}{20}=20$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20}=400$
Agar kita peroleh $x_{20}$ bilangan yang terbesar yang mungkin maka kita harus beranggapan bahwa $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots\ x_{19}$ yaitu bilang lingkaran nonnegative berbeda yang terkecil yaitu $1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ 19$, sehingga:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{19}+x_{20}=400$
$1+2+3+\cdots +19+x_{20}=400$
$190+x_{20}=400$
$x_{20}=400-190$
$x_{20}=210$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A).\ 210$
2. Soal SIMAK UI 2011 [Soal SIMAK UI Lengkap]
Sebuah keluarga mempunyai $5$ orang anak. Anak tertua berumur $2$ kali dari umur anak termuda, sedangkan $3$ anak yang lainnya masing-masing berumur kurang $3$ tahun dari anak tertua, lebih $4$ tahun dari anak termuda, dan kurang $5$ tahun dari anak tertua. Jika rata-rata umur mereka yaitu $16$ tahun, maka kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 4 \\
(B).\ & 6,25 \\
(C).\ & 9 \\
(D).\ & 12,25 \\
(E).\ & 20,25
\end{align}$
Hint
Jika kelima orang anak diurutkan dari anak pertama hingga anak kelima kita misalkan $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5}$, maka umur mereka sanggup kita tuliskan dalam beberapa persamaan $a_{1}=2a_{5}$, $a_{1}-3$, $a_{5}+4$ dan $a_{1}-5$
$\dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5}=\bar{x}$
$\dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5}=16$
$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}=90$
$a_{1} + a_{1}-3 + a_{5}+4 + a_{1}-5 + a_{5}=90$
$3a_{1} +2a_{5}-4=90$
$3a_{1} +2a_{5}=94$
$3a_{1} +a_{1}=94$
$4a_{1}=94$
$a_{1}=23,5$
$a_{5}=11,75$
$a_{1}-3=20,5$
$a_{1}-5=18,5$
$a_{5}+4=15,75$
kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga:
$\left (a_{2} - a_{3} \right )^{2}=\left (20,5-18,5 \right )^{2}$
$\left (a_{2} - a_{3} \right )^{2}=2^{2}=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A).\ 4$
3. Soal SIMAK UI 2011 [Soal SIMAK UI Lengkap]
Pada suatu ujian yang diikuti oleh $50$ orang mahasiswa diperoleh nilai rata-rata ujian yaitu $30$ dengan median $40$, simpangan baku $15$, dan simpangan kuartil $25$. Untuk memperbaiki nilai rata-rata, semua nilai dikalikan $2$ kemudian dikurangi $10$. Akibat yang terjadi adalah...
$\begin{align}
(1).\ & \text{Meannya menjadi}\ 50 \\
(2).\ & \text{Simpangan bakunya menjadi}\ 30 \\
(3).\ & \text{Mediannya menjadi}\ 70 \\
(4).\ & \text{Simpangan kuartilnya menjadi}\ 50
\end{align}$
Hint
Misalkan
Data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{50}$
$\bar{x}_{L}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50}$
$30=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50}$
$1500=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}$
$Me=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26})$
$40=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26})$
$80=x_{25}+x_{26}$
$s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}$
$15=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( x_{i}-30 \right )^{2}}$
$15=\sqrt{\dfrac{1}{50}\left (\left ( x_{1}-30 \right )^{2}+\left ( x_{2}-30 \right )^{2}+\cdots+\left ( x_{50}-30 \right )^{2} \right )}$
$Q_{d}=\dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1})$
$25=\dfrac{1}{2}(x_{38}-x_{13})$
$50=x_{38}-x_{13}$
Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots\ 2x_{50}-10$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{2x_{1}-10+2x_{2}-10+2x_{3}-10+ \cdots+ 2x_{50}-10}{50}$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{2x_{1}-10+2x_{2}-10+2x_{3}-10+ \cdots+ 2x_{50}-10}{50}$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+ \cdots+ 2x_{50}-50 \times 10}{50}$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})-50 \times 10}{50}$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})}{50}- \dfrac{50 \times 10}{50}$
$\bar{x}_{B}=2\left (\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50}}{50} \right )- 10$
$\bar{x}_{B}=2\left ( 30 \right )- 10$
$\bar{x}_{B}=50$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan hukum bahwa rata-rata berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data usang rata-ratanya $30$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka rata-rata gres yaitu $2 \times 30 -10=50$
$Me_{B}=\dfrac{1}{2}(2x_{25}-10+2x_{26}-10)$
$Me_{B}=\dfrac{1}{2}(2x_{25}+2x_{26}-20)$
$Me_{B}=x_{25}+x_{26}-10$
$Me_{B}=80-10=70$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan hukum bahwa median berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data usang mediannya $40$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka median gres yaitu $2 \times 40-10=70$
$s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}$
$s_{B}=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-(2\bar{x}-10) \right )^{2}}$
$s_{B}=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-2\bar{x}+10 \right )^{2}}$
$s_{B}=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i} -2\bar{x} \right )^{2}}$
$s_{B}=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}(2^{2})\left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}}$
$s_{B}=2\sqrt{\ddfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50} \left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}}$
$s_{B}=2(15)=30$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan hukum bahwa simpangan baku berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian (pembagian) yang diberikan kepada setiap data.
Jika data usang simpangan bakunya $15$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan baku gres yaitu $2 \times 15=30$
$Q_{d_{B}}=\dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1})$
$Q_{d_{B}}=\dfrac{1}{2}\left ( \left (2x_{38}-10 \right )-\left (2x_{13}-10 \right ) \right )$
$Q_{d_{B}}=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}-10 - 2x_{13}+15 \right )$
$Q_{d_{B}}=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}- 2x_{13} \right )$
$Q_{d_{B}}= x_{38}- x_{13}$
$Q_{d_{B}}= 50$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan hukum bahwa simpangan quartil berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian (pembagian) yang diberikan kepada setiap data.
Jika data usang simpangan quartilnya $25$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan quartil gres yaitu $2 \times 25=50$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E).\ (1)(2)(3)(4)$
4. Soal SBMPTN 2017 [Soal SBMPTN 2017 Lengkap]
4. Diketahui median dan rata-rata berat tubuh $5$ balita yaitu sama. Setelah ditambah satu data berat tubuh balita, rata-ratanya meningkat $1\ kg$, sedangkan mediannya tetap. Jika $6$ data berat tubuh tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat tubuh antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 4 \\
(B).\ & \dfrac{9}{2} \\
(C).\ & 5 \\
(D).\ & 6 \\
(E).\ & \dfrac{13}{2}
\end{align}$
Hint
Misalkan
Data Lama: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5}$
$\bar{x}_{L}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5}$
$b_{3}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5}$
$5b_{3}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}$
$4b_{3}=b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5}$
Data Baru: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5},\ b_{b}$
$\bar{x}_{B}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6}$
$b_{3}+1=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6}$
$6(b_{3}+1)= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} $
$6b_{3}+6= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} $
$5b_{3}+6= b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} $
$5b_{3}+6=4b_{3}+b_{b} $
$b_{3}+6=b_{b} $
Karena masuknya data gres menyebabkan rata-rata naik $1\ kg$ maka nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$, kemungkinan-kemungkinan urutan data adalah:
- $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{b},\ b_{4},\ b_{5}$
Nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$ sehingga pada kemungkinan ini median akan naik, sedangkan dikatakan median tetap $b_{3}$ maka pada posisi ini tidak memenuhi. - $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{b},\ b_{5}$
pada kemungkinan ini sebab median tetap sehingga $b_{3}=b_{4}$,
selisih $b_{b}-b_{4}$ yaitu $b_{3}+6-b_{3}=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D).\ 6$
5.Soal SBMPTN 2016 [Soal SBMPTN 2016 Lengkap]
Nilai ujian Matematika $30$ siswa pada suatu kelas berupa bilangan cacah tidak lebih daripada $10$. Rata-rata nilai mereka yaitu $8$ dan hanya terdapat $5$ siswa yang memperoleh nilai $7$. Jika $p$ menyatakan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari $7$, maka nilai $p$ terbesar yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 5 \\
(B).\ & 9 \\
(C).\ & 14 \\
(D).\ & 7 \\
(E).\ & 11
\end{align}$
Hint
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{30}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30}}{30}$
$8=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30}}{30}$
$240=x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30}$
$240=x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}+\ 5 \times 7$
$240=x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}+ 35$
$205=x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}$
Agar nilai $p$ terbesar maka kita harap nilai $p$ semuanya yaitu $6$ dan nilai yang lebih dari $7$ yaitu $10$.
Jumlah $25$ nilai yang tidak $7$ yaitu $205$ dan nilainya dibutuhkan paling banyak yaitu $6$ kemudian $10$.
Jika semua nilai $6$ maka jumlahnya yaitu $6 \times 25 =150$, supaya tercapai $205$ dibutuhkan ada nilai $10$.
Nilai $10$ yang dibutuhkan yaitu sebanyak $13$.
Alternatif trik memperoleh: $\dfrac{55}{4}=13\ \text{sisa}\ 3$ artinya dibutuhkan nilai $10$ sebanyak $13$ dan nilai $9$ sebanyak $1$.
Nilai $6$ yang paling banyak yaitu $30-5-13-1=11$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E).\ 11$
6.Soal SBMPTN 2016 [Soal SBMPTN 2016 Lengkap]
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian $6$ siswa yaitu $6$. Jika median data tersebut yaitu $6$ dan selisih antara kuartil ke-1 dan ke-3 yaitu $4$, maka jumlah dua nilai ujian tertiggi adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 13 \\
(B).\ & 14 \\
(C).\ & 15 \\
(D).\ & 16 \\
(E).\ & 17
\end{align}$
Hint
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{6}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6}}{6}$
$6=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6}}{6}$
$36=x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6}$
$\text{Median}=6$
$Me=\dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4})$
$6=\dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4})$
$12=x_{3}+x_{4}$
$\text{Jangkauan}=6$
$x_{6}-x_{1}=6$
$x_{1}=x_{6}-6$
$\text{Selisih Quartil}=4$
$Q_{3}-Q_{1}=4$
$x_{5}-x_{2}=4$
$x_{2}=x_{5}-4$
$x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}+ x_{5} + x_{6}=36$
$(x_{6}-6) + (x_{5}-4) + (12)+ x_{5} + x_{6}=36$
$2x_{5}+2x_{6}+2=36$
$2x_{5}+2x_{6}=34$
$x_{5}+x_{6}=17$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E).\ 17$
7.Soal SBMPTN 2016 [Soal SBMPTN 2016 Lengkap]
Rata-rata nilai ujian Matematika siswa di suatu kelas dengan $50$ siswa tetap sama meskipun nilai terendah dan tertinggi dikeluarkan. Jumlah nilai-nilai tersebut yaitu $350$. Jika data nilai-nilai ujian Matematika tersebut merupakan bilangan orisinil yang tidak lebih besar dari $10$, maka jangkauan data nilai yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A).\ & 1 \\
(B).\ & 2 \\
(C).\ & 3 \\
(D).\ & 4 \\
(E).\ & 5
\end{align}$
Hint
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{50}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}+x_{n}}{n}$
$\bar{x}=\dfrac{350}{50}$
$\bar{x}=7$
Rata-rata tetap kalau $x_{1}$ dan $x_{50}$ dikeluarkan;
$\bar{x}=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}}{48}$
$7=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}}{48}$
$336=x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}$
$x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}+x_{n}$
$x_{1} + 336 + x_{50}=350$
$x_{1} +x_{50}=14$
Dengan $x_{1} +x_{50}=14$ dan $x_{1},\ x_{50}$ bilangan orisinil yang tidak lebih besar dari $10$.
Jangkauan data ($R=x_{50} -x_{1}$) yang mungkin yaitu ketika nilai $x_{50},\ x_{1}$ yaitu $10,\ 4$; $9,\ 5$; $8,\ 6$; $7,\ 7$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C).\ 4$
8.Soal SBMPTN 2016 [Soal SBMPTN 2016 Lengkap]
Dalam suatu kelas terdapat $23$ siswa. Rata-rata nilai kuis aljabar mereka yaitu $7$. Terdapat hanya $2$ orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya $1$ orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang $0,1$ kalau semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A).\ & 1 \\
(B).\ & 2 \\
(C).\ & 3 \\
(D).\ & 4 \\
(E).\ & 5
\end{align}$
Hint
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots\ x_{21},\ x_{22},\ x_{23}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23}$
$7=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23}$
$161=x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}$
Rata-rata berkurang $0,1$ kalau $x_{22}, x_{23}$ dan $x_{1}$ dikeluarkan;
$\bar{x}=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}}{20}$
$6,9=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}}{20}$
$138=x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}$
$161=x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}$
$161=x_{1} + 138 + x_{22}+x_{23}$
Misalkan nilai terendah adalam $m$ dan tertinggi yaitu $n$.
$161=m + 138 + n+n$
$23=m + 2n$
Semua nilai berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, nilai $m$ yang mungkin adalah:
- $m=1$ maka $1 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=11$ (TM)
- $m=2$ maka $2 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{21}{2}$ (TM)
- $m=3$ maka $3 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=10$
- $m=4$ maka $4 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{19}{2}$ (TM)
- $m=5$ maka $5 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=9$
- $m=6$ maka $6 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{17}{2}$ (TM)
- $m=7$ maka $7 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=7$ (TM)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B).\ 2$
9.Soal SBMPTN 2016 [Soal SBMPTN 2016 Lengkap]
Seorang siswa mengikuti $6$ kali ujian dengan nilai $5$ ujian pertama $6,\ 4,\ 8,\ 5$ dan $7$. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan orisinil yang tidak lebih besar daripada $10$ dan rata-rata $6$ kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 3 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 6 \\
(E).\ & 8
\end{align}$
Hint
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots\, x_{5},\ x_{t}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{5}+x_{t}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{4 + 5 + 6 + 7+ 8+x_{t}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{30+x_{t}}{6}$
Pada data awal $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$ rata-rata yaitu $6$ dan median yaitu $6$.
Setelah ujian terakhir diikutkan rata-rata data lebih kecil dari median sehingga kalau diurutkan, urutan data kemungkinannya yaitu sebagai berikut:
- $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ x_{t}$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+7) $
$30+x_{t} \lt 3(13) $
$30+x_{t} \lt 39 $
$x_{t} \lt 9 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin yaitu $8$ - $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ x_{t},\ 8$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+7) $
$30+x_{t} \lt 3(13) $
$30+x_{t} \lt 39 $
$x_{t} \lt 9 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin yaitu $7,\ 8$ - $4,\ 5,\ 6,\ x_{t},\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+x_{t}) $
$30+x_{t} \lt 3(6+x_{t}) $
$30+x_{t} \lt 18+3x_{t} $
$30-18 \lt 3x_{t}-x_{t} $
$12 \lt 2x_{t} $
$6 \lt x_{t} $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin yaitu $7$ - $4,\ 5,\ x_{t},\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(x_{t}+6) $
$30+x_{t} \lt 3(x_{t}+6) $
$30+x_{t} \lt 3x_{t}+18 $
$30-18 \lt 3x_{t}-x_{t} $
$12 \lt 2x_{t} $
$6 \lt x_{t} $
Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin - $4,\ x_{t},\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(5+6) $
$30+x_{t} \lt 3(11) $
$x_{t} \lt 33-30 $
$x_{t} \lt 3 $
Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin - $x_{t},\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(5+6) $
$30+x_{t} \lt 3(11) $
$x_{t} \lt 33-30 $
$x_{t} \lt 3 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin yaitu $1,\ 2$
10.Soal SPMB 2006
Suatu ujian di ikuti dua kelompok dan setiap kelompok terdiri dari $5$ siswa. Nilai rata-rata kelompok I yaitu $63$ dan kelompok II yaitu $58$. Seorang siswa kelompok I pindah ke kelompok II sehingga nilai rata-rata kelompok I menjadi $65$. Maka nikai rata-rata kelompok II kini adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 55,5 \\
(B).\ & 56 \\
(C).\ & 57,5 \\
(D).\ & 58 \\
(E).\ & 58,5
\end{align}$
Hint
Misalkan Kelompok $I$: $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5}$
Kelompok $II$: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5}$
$\bar{x}=\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5}$
$63=\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5}$
$315=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$
$\bar{x}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}}{5}$
$58=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}}{5}$
$290=b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}$
Seorang siswa Kelompok $I$ pindah ke Kelompok $II$ sehingga rata-rata Kelompok $I$ menjadi $65$;
$65=\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}$
$260=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$
$315=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$
$315=260+a_{5}$
$55=a_{5}$
Rata-rata kelompok II yang baru
$\bar{x}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}+a_{5}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{290+55}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{345}{6}=57,5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C).\ 57,5$
11.Soal SPMB 2006
Berat rata-rata $10$ siswa yaitu $60\ kg$. Salah seorang diantaranya diganti oleh Andi sehingga berat rata-ratanya menjadi $60,5\ kg$. Jika berat Andi $60\ kg$, maka berat siswa yang digantikan adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 53 \\
(B).\ & 54 \\
(C).\ & 55 \\
(D).\ & 56 \\
(E).\ & 57
\end{align}$
Hint
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots,\ x_{10}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10}$
$60=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10}$
$600=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
Salah seorang digantikan Andi, kita misalkan $x_{1}$
$60,5=\dfrac{x_{A}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10}$
$605=60+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
$545=x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
$600=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
$600=x_{1}+545$
$x_{1}=600-545=55$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C).\ 55$
12.Soal SNMPTN 2009
Rata-rata sekelompok bilangan yaitu $40$. Ada bilangan yang bergotong-royong yaitu $60$, tetapi terbaca $30$. Setelah dihitung kembali ternyata rata-rata yang benar yaitu $41$. Banyak bilangan dalam kelompok itu adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 20 \\
(B).\ & 25 \\
(C).\ & 30 \\
(D).\ & 42 \\
(E).\ & 45
\end{align}$
Hint
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots ,\ x_{n}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$40=\dfrac{30 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$40n=30 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$
$40n-30 = x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$41=\dfrac{60 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$41n=60 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$
$41n=60 + 40n-30$
$n=30$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C).\ 30$
13.Soal SNMPTN 2012
Jika lima data mempunyai rata-rata $12$, median $12$, modus $15$, dan range (jangkauan) $7$, maka data kedua sehabis diurutkan adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 9 \\
(B).\ & 10 \\
(C).\ & 11 \\
(D).\ & 12 \\
(E).\ & 13
\end{align}$
Hint
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5}$
$\text{Rata-rata}=12$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5}$
$12=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5}$
$60=x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}$
$\text{Median}=12$
$Me=x_{3}=12$
$\text{Range}=7$
$x_{5} - x_{1}=7$
$x_{5} - 7=x_{1}$
$60=x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}$
$60=x_{5}-7 + x_{2} + 12 + x_{4} + x_{5}$
$60-5=x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}$
$55=x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}$
Karena $Me=x_{3}=12$ dan $Mo=15$ maka sanggup kita simpulkan $x_{4}=x_{5}=15$.
Nilai $x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}=55$
$x_{2}+ 15 + 30=55$
$x_{2}=55-45$
$x_{2}=10$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B).\ 10$
14.Soal SBMPTN 2014 [Soal SBMPTN 2014 Lengkap]
Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata $20 \%$ data diantaranya yaitu $p+0,1$, $40 \%$ lainnya yaitu $p-0,1$, $10 \%$ lainnya lagi yaitu $p-0,5$ dan rata-rata $30 \%$ data sisanya yaitu $p+q$, maka $q=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \frac{1}{5} \\
(B).\ & \frac{4}{15} \\
(C).\ & \frac{1}{3} \\
(D).\ & \frac{7}{30} \\
(E).\ & \frac{3}{10}
\end{align}$
Hint
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots ,\ x_{30}$
$\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1} + \bar{x}_{2} \cdot n_{2} + \bar{x}_{3} \cdot n_{3}+ \bar{x}_{4} \cdot n_{4}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}}$
$p=\dfrac{(p+0,1) \cdot 6 + (p-0,1) \cdot 12 + (p-0,5) \cdot 3+ (p+q) \cdot 9}{6+12+3+9}$
$p=\dfrac{6p+0,6 + 12p-1,2 + 3p-1,5+ 9p+9q}{30}$
$p=\dfrac{30p+2,1+9q}{30}$
$30p=30p+2,1+9q$
$2,1=9q$
$q=\frac{2,1}{9}=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D).\ \frac{7}{30}$
Jika ada wangsit yang lebih sederhana atau alternatif penyelesaian dari apa yang kita diskusikan diatas mari berbagi😊
Siswa kreatif ini bisa menawarkan kreativitas dan kemampuannya melalui PBB, mari kita lihat keterampilan kreatif mereka;
0 Response to "Matematika Dasar Statistika Data Tunggal (*Soal Dari Banyak Sekali Sumber)"